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   "source": [
    "## Analogias\n",
    "\n",
    "Um dos recursos mais poderosos em engenharia é o uso de **analogias**: compreender um sistema novo fazendo paralelos com algo que já conhecemos bem.  \n",
    "No projeto do aeropêndulo, vamos explorar duas analogias fundamentais:\n",
    "\n",
    "1. **Movimento linear ↔ movimento rotacional**  \n",
    "2. **Domínio mecânico ↔ domínio elétrico**  \n",
    "\n",
    "Estas correspondências não só ajudam a compreender novos conceitos, como permitem começar a **quantificar** os fenómenos com ordens de grandeza realistas.\n",
    "\n",
    "---\n",
    "\n",
    "### Analogia Linear–Rotacional\n",
    "\n",
    "Assim como uma partícula se move em linha reta com posição, velocidade e aceleração, também um corpo rígido pode girar em torno de um eixo.  \n",
    "As grandezas correspondentes são:\n",
    "\n",
    "| Grandeza       | Linear                         | Rotacional                       |\n",
    "|----------------|--------------------------------|----------------------------------|\n",
    "| Posição        | $x$                            | $\\theta$                         |\n",
    "| Velocidade     | $v = \\frac{dx}{dt}$            | $\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}$    |\n",
    "| Aceleração     | $a = \\frac{dv}{dt}$            | $\\alpha = \\frac{d\\omega}{dt}$    |\n",
    "\n",
    "As leis de Newton aplicam-se de forma análoga:\n",
    "\n",
    "- Movimento linear:  \n",
    "  $$\n",
    "  F = m a\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "- Movimento rotacional:  \n",
    "  $$\n",
    "  \\tau = I \\alpha\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "onde $F$ é a força, $m$ a massa, $\\tau$ o binário (torque), $I$ o momento de inércia e $\\alpha$ a aceleração angular.  \n",
    "\n",
    "---\n",
    "\n",
    "### Analogia Mecânica–Elétrica\n",
    "\n",
    "Da mesma forma, existem paralelos entre o domínio mecânico e o elétrico:\n",
    "\n",
    "- **Energia cinética rotacional**  \n",
    "  $$\n",
    "  E_{\\text{rot}} = \\tfrac{1}{2} I \\omega^2\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "- **Potência mecânica instantânea**  \n",
    "  $$\n",
    "  P_{\\text{mec}} = \\tau \\cdot \\omega\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "- **Potência elétrica fornecida ao motor**  \n",
    "  $$\n",
    "  P_{\\text{elec}} = I \\cdot V\n",
    "  $$\n",
    "\n",
    "A corrente elétrica medida no motor está diretamente relacionada com o binário aplicado no eixo. \n",
    "\n",
    "---\n",
    "\n",
    "### Exemplo Numérico Rápido\n",
    "\n",
    "Considere-se um braço do aeropêndulo com:\n",
    "\n",
    "- massa equivalente $m = 0.05$ kg (50 g na extremidade),  \n",
    "- comprimento $r = 0.10$ m,  \n",
    "- velocidade angular $\\omega = 2\\pi$ rad/s (1 volta por segundo),  \n",
    "- aceleração angular $\\alpha = 2\\pi$ rad/s².  \n",
    "\n",
    "1. **Momento de inércia (massa concentrada na extremidade):**  \n",
    "   \n",
    "   $$I = m r^2 = 0.05 x  0.10^2 = 5.0 \\times 10^{-4}\\ (kg·m)^2$$\n",
    "\n",
    "2. **Energia cinética rotacional:**  \n",
    "   \n",
    "   $$\n",
    "   E_{{rot}} = \\tfrac{1}{2} I \\omega^2 = \\tfrac{1}{2} \\cdot 5.0 \\times 10^{-4} x  (2\\pi)^2 \\approx 0.010\\ J\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "3. **Binário necessário para a aceleração dada:**  \n",
    "   \n",
    "   $$\n",
    "   \\tau = I \\alpha = 5.0 \\times 10^{-4} \\cdot  2\\pi \\approx 0.0031\\ N·m\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "4. **Potência mecânica correspondente:**  \n",
    "   \n",
    "   $$\n",
    "   P_{{mec}} = \\tau   \\omega = 0.0031 \\cdot 2\\pi \\approx 0.019\\ W\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "5. **Potência elétrica necessária (assumindo 70% eficiência):**  \n",
    "   \n",
    "   $$\n",
    "   P_{elec} = \\frac{P_{mec}}{0.7} \\approx 0.027\\ W\n",
    "   $$\n",
    "\n",
    "Estes valores mostram que, apesar da energia envolvida ser pequena em termos absolutos (da ordem dos **miliwatts a watts**), é suficiente para exigir o uso de um **driver de potência** entre o microcontrolador (Arduino) e o motor, pois o microcontrolador não fornece correntes da ordem das centenas de miliamperes ou amperes.  \n",
    "\n"
   ]
  },
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