Analogias

Um dos recursos mais poderosos em engenharia é o uso de analogias: compreender um sistema novo fazendo paralelos com algo que já conhecemos bem.

No projeto do aeropêndulo, vamos explorar duas analogias fundamentais:

Movimento linear ↔ movimento rotacional
Domínio mecânico ↔ domínio elétrico

Estas correspondências não só ajudam a compreender novos conceitos, como permitem começar a quantificar os fenómenos com ordens de grandeza realistas.

Analogia Linear–Rotacional

Assim como uma partícula se move em linha reta com posição, velocidade e aceleração, também um corpo rígido pode girar em torno de um eixo.

As grandezas correspondentes são:

Grandeza	Linear	Rotacional
Posição	\(x\)	\(\theta\)
Velocidade	\(v = \frac{dx}{dt}\)	\(\omega = \frac{d\theta}{dt}\)
Aceleração	\(a = \frac{dv}{dt}\)	\(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\)

As leis de Newton aplicam-se de forma análoga:

Movimento linear:

\[F = m a\]
Movimento rotacional:

\[\tau = I \alpha\]

onde \(F\) é a força, \(m\) a massa, \(\tau\) o binário (torque), \(I\) o momento de inércia e \(\alpha\) a aceleração angular.

Analogia Mecânica–Elétrica

Da mesma forma, existem paralelos entre o domínio mecânico e o elétrico:

Energia cinética rotacional

\[E_{\text{rot}} = \tfrac{1}{2} I \omega^2\]
Potência mecânica instantânea

\[P_{\text{mec}} = \tau \cdot \omega\]
Potência elétrica fornecida ao motor

\[P_{\text{elec}} = I \cdot V\]

A corrente elétrica medida no motor está diretamente relacionada com o binário aplicado no eixo.

Exemplo Numérico Rápido

Considere-se um braço do aeropêndulo com:

massa equivalente \(m = 0.05\) kg (50 g na extremidade),
comprimento \(r = 0.10\) m,
velocidade angular \(\omega = 2\pi\) rad/s (1 volta por segundo),
aceleração angular \(\alpha = 2\pi\) rad/s².

Momento de inércia (massa concentrada na extremidade):

\[I = m r^2 = 0.05 x 0.10^2 = 5.0 \times 10^{-4}\ (kg·m)^2\]
Energia cinética rotacional:

\[E_{{rot}} = \tfrac{1}{2} I \omega^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 5.0 \times 10^{-4} x (2\pi)^2 \approx 0.010\ J\]
Binário necessário para a aceleração dada:

\[\tau = I \alpha = 5.0 \times 10^{-4} \cdot 2\pi \approx 0.0031\ N·m\]
Potência mecânica correspondente:

\[P_{{mec}} = \tau \omega = 0.0031 \cdot 2\pi \approx 0.019\ W\]
Potência elétrica necessária (assumindo 70% eficiência):

\[P_{elec} = \frac{P_{mec}}{0.7} \approx 0.027\ W\]

Estes valores mostram que, apesar da energia envolvida ser pequena em termos absolutos (da ordem dos miliwatts a watts), é suficiente para exigir o uso de um driver de potência entre o microcontrolador (Arduino) e o motor, pois o microcontrolador não fornece correntes da ordem das centenas de miliamperes ou amperes.